Dalga denklemleri

Dalga denklemini ve dalgaların hız ifadesini türetmede ilk adım, her zaman madde elementlerinin hareket denklemlerini içerir.Biz burada hareket denklemlerini tensör şekliyle ifade etmek istiyoruz. Gerilmeleri gösteren basit bir hacim elementi gözönüne alalım.Homojen elastik bir katıda gerilmeleri,Gij, yer değiştirmeleri Ui ve kartezyen eksenleri Xi ile gösterelim g yoğunluk ve katıda birim hacme etkiyen cisimsel kuvvetlerde gXi olsun, Şekil 1.1 Gerilmeleri gösteren bir hacim elementi Kuvvetlerin X1 doğrultusunda olduğunu düşünelim; dG11/dX1+ dG12/dX2+ dG13/dX3+gX1=gd2U1/dt2 dG21/dX1+ dG22/dX2+ dG23/dX3+gX2=gd2U2/dt2 dG31/dX1+ dG32/dX2+ dG33/dX3+gX3=gd2U3/dt2 Bu denklemler şu şekilde yazılabilir; dGij/dXi+gXi=gÜj Eğer gXj cisimsel (gövde) kuvvetler gözönüne alınmazsa deklem şu şekle gelir. dGij/dXi = gÜj Sağ taraftaki ivme bileşenleri sıfır olduğu zaman denge durumundaki hareket denklemleri elde edilir. 1/2Cijkl(d/Xi(dUk/dX1))+ dU1/dXk = gÜj 1/2Cijkl(dU2k/dX1 dXi)+1/2Cijkl(dU21/dXi dXk) = gÜj cijkl simetrik olduğundan birinci terimde k ve l nin yerleri değiştirilebilir bu durumda eşitlik; Cijkl(dU21/dXi dXk) = gÜj olur. (1) Bu denklem yerdeğiştirme vektörünü içeren ikinci dereceden lineer homojen bir diferansiyel denklemdir. Biz burada düzlem monokromatik elastik dalgaları gözönüne aldığımızda yer değiştirme vektörü U=Aei(kr-wt) dir.